Propiedades de las progresiones geométricas Cada término es proporcional al anterior: . La razón es constante. La suma de términos equidistantes desde los extremos es constante. Los términos forman una progresión exponencial cuando se grafican.. Problemas resueltos de progresiones geométricas En esta página repasamos los conceptos y fórmulas de las progresiones geométricas y resolvemos algunos problemas. Índice: Progresión, términos, razón y monotonía Término o fórmula general Suma de los primeros términos Suma de todos los términos Problemas resueltos 1. Progresión, términos, razón y monotonía Una progresión.
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales llamados términos, en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante denominada «razón» o «factor» de la progresión. Si se denota por
a
n
{\displaystyle a_{n}}
al término que ocupa la posición
n
{\displaystyle n}
de la sucesión, se puede obtener el valor de cualquier término a partir del primero (
a
1
{\displaystyle a_{1}}
) y de la razón (
r
{\displaystyle r}
) mediante la siguiente fórmula llamada término general:
a
n
=
a
1
⋅
r
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}\,}
Ejemplos de progresiones geométricas
- La progresión 5, 15, 45, 135, 405,…’ es una progresión geométrica con razón
r
=
3{\displaystyle r=3}
- Las progresiones 1, 2, 4, 8, 16,… y 5, 10, 20, 40,… son geométricas con razón
r
=
2{\displaystyle r=2}
.
- La progresión -3, 6, -12, 24, … tiene razón
/
r
=
−
2{\displaystyle /r=-2}
. Esta progresión es también una sucesión alternada.
- Otros ejemplos son: la paradoja de Aquiles y la tortuga, el problema del trigo y del tablero de ajedrez y la cantidad de movimientos de los anillos en la torres de Hanói.
Definición recursiva
Se llama progresión geométrica una sucesión numérica (
b
n
{\displaystyle b_{n}}
) definida por las condiciones
b
n
=
{
s
i
n
=
1
⟶
p
s
i
n
>
1
⟶
b
n
−
1
⋅
q
{\displaystyle b_{n}=\left\{{\begin{array}{llcl}si&n=1&\longrightarrow &p\\si&n>1&\longrightarrow &b_{n-1}\cdot q\end{array}}\right.}
llamada ecuación recursiva de orden 1 (
q
≠
0
{\displaystyle q\neq 0}
),
n
=
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle n=1,2,…}
(
q
{\displaystyle q}
es la razón de la progresión geométrica)
Monotonía
Una progresión geométrica es monótona creciente cuando cada término es mayor o igual que el anterior (
a
n
≥
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}}
), monótona decreciente cuando cada término es menor o igual que el anterior (
a
n
≤
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}\leq a_{n-1}}
), constante cuando todos los términos son iguales (
a
n
=
a
n
−
1
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}}
) y alternada cuando cada término tiene signo distinto que el anterior (ocurre cuando
r
<
0
{\displaystyle r<0}
).
Monotonía en función del primer término,
a
1
{\displaystyle a_{1}}
, y de la razón,
r
{\displaystyle r}
:
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica
Se denota por
S
n
{\displaystyle S_{n}}
a la suma de los
n
{\displaystyle n}
primeros términos consecutivos de una progresión geométrica:
S
n
=
a
1
+
a
2
+
.
.
.
+
a
n
−
1
+
a
n
{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n-1}+a_{n}}
Se puede calcular esta suma a partir del primer término
a
1
{\displaystyle a_{1}}
y de la razón
r
{\displaystyle r}
mediante la fórmula
Se puede generalizar el procedimiento anterior para obtener la suma de los términos consecutivos comprendidos entre dos elementos arbitrarios
a
m
{\displaystyle a_{m}}
y
a
n
{\displaystyle a_{n}}
(ambos incluidos):
∑
k
=
m
n
a
k
=
r
⋅
a
n
−
a
m
r
−
1
=
a
1
⋅
(
r
n
−
r
m
−
1
)
r
−
1
=
a
m
⋅
(
r
n
−
m
+
1
−
1
)
r
−
1
{\displaystyle \sum _{k=m}^{n}a_{k}={\frac {r\cdot a_{n}-a_{m}}{r-1}}=a_{1}\cdot {\frac {(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}=a_{m}\cdot {\frac {(r^{n-m+1}-1)}{r-1}}}
Suma de infinitos términos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
,
r
∞
{\displaystyle r^{\infty }}
tiende hacia 0, de modo que simplemente se los puede simplificar y la razón que da como único término :
S
∞
=
a
1
r
∞
−
1
r
−
1
=
a
1
⋅
0
−
1
r
−
1
{\displaystyle S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}\cdot {\cfrac {0-1}{r-1}}}
Finalmente, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad es:
S
∞
=
a
1
1
−
r
{\displaystyle S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}}
,
|
r
|
<
1
{\displaystyle |r|<1}
Caso notable
Un ejemplo de progresión geométrica aparece en el caso de una de las paradojas de Zenón: el reto de Aquiles y de la tortuga.
Producto de los términos de los n primeros
El producto de los
n
{\displaystyle n}
primeros términos de una progresión geométrica se puede obtener mediante la fórmula
∏
i
=
1
n
a
i
=
(
a
1
⋅
a
n
)
n
{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}=\left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}
(si
a
1
,
r
>
0
{\displaystyle a_{1},r>0}
).
Dado que los logaritmos de los términos de una progresión geométrica de razón
r
{\displaystyle r}
(si
a
1
,
r
>
0
{\displaystyle a_{1},r>0}
), están en progresión aritmética de diferencia
log
r
{\displaystyle \log r}
, se tiene:
log
(
∏
i
=
1
n
a
i
)
=
∑
i
=
1
n
log
a
i
=
(
log
a
1
+
log
a
n
)
n
2
=
log
(
a
1
⋅
a
n
)
n
{\displaystyle \log(\prod _{i=1}^{n}a_{i})=\ \sum _{i=1}^{n}\log a_{i}=\ {\frac {(\log a_{1}+\log a_{n})n}{2}}=\ \log \left({\sqrt {a_{1}\cdot a_{n}}}\right)^{n}}
.
y tomando antilogaritmos se obtiene la fórmula.
Véase también
- Progresión aritmética
- Serie geométrica
Referencias
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Progresión geométrica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Sum of Geometric Progression Calculator
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